Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 2810
i

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму раз­лич­ных кор­ней урав­не­ния синус 13x плюс синус 7x = 0 на про­ме­жут­ке [–⁠60°; –⁠15°].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой суммы си­ну­сов:

синус 13x плюс синус 7x = 0 рав­но­силь­но 2 синус 10x ко­си­нус 3x = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 10x = 0, ко­си­нус 3x = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 10x = Пи k, 3x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , най­дем при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии кор­ней по­лу­ча­ем:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = минус 3, k = минус 2, k = минус 1. конец со­во­куп­но­сти .

По­лу­чен­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют числа минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Для вто­рой серии кор­ней по­лу­ча­ем:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k = минус 1.

По­лу­чен­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет число  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Сумма най­ден­ных чисел равна

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 30 конец дроби ,

то есть  минус 138 гра­ду­сов.

 

Ответ: − 138.


Аналоги к заданию № 2780: 2810 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2025 год. Ва­ри­ант 2
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026